Рэймонд Смаллиан
Как же называется эта книга?
Стр.139
Кроме того, некоторых рыцарей называют "признанными рыцарями" (они проявили себя чем-то, подтвердив свое рыцарское звание), а некоторых лжецов (подтвердивших свою приверженность ко лжи) - "отъявленными лжецами".
Обитатели острова G состоят членами различных клубов.
Каждый островитянин может быть членом нескольких клубов.
Любой островитянин X утверждает относительно любого клуба C, что он либо состоит членом клуба C, либо не состоит членом клуба C.
Известно, что выполняются следующие четыре условия:
E1: Все признанные рыцари состоят членами одного клуба.
E2: Все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба.
C (условие дополнительности; C - от лат. complementum - дополнение). Все островитяне, не состоящие членами любого клуба C, состоят в одном клубе. (Этот клуб называется дополнением клуба C и обозначается ~C.)
G (условие гёделевости). Для любого клуба C существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба C. (Разумеется, его утверждение о членстве в клубе C может быть ложным, так как островитянин может оказаться лжецом.)
264а (по Гёделю).
1) Докажите, что на острове G существует по крайней мере один непризнанный рыцарь.
2) Докажите, что на острове существует по крайней мере один неотъявленный лжец.
264б (по Тарскому).
1) Состоят ли все лжецы острова членами одного клуба?
2) Состоят ли все рыцари острова членами одного клуба?
Решение задачи 264а. По условию E1 все признанные рыцари острова (образующие множество E) состоят членами одного клуба. Следовательно, по условию C все островитяне, входящие в множество ~E непризнанных рыцарей, также состоят членами одного клуба. Но тогда по условию G существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба ~E (иначе говоря, он утверждает, что не принадлежит к множеству непризнанных рыцарей).
Лжец не мог бы утверждать, что он не признанный рыцарь (поскольку утверждение о том, что лжец - не признанный рыцарь, истинно). Следовательно, островитянин, высказавший это утверждение, должен быть рыцарем. Поскольку он рыцарь, то высказываемые им утверждения истинны, поэтому он не признанный рыцарь. Значит, островитянин, высказавший это утверждение - рыцарь, но не признанный рыцарь.
По условию E2 все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию G), существует по крайней мере один островитянин, утверждающий, что он отъявленный лжец (он утверждает, что состоит членом клуба отъявленных лжецов). Этот островитянин не может быть рыцарем (так как рыцарь не мог бы утверждать, что он лжец). Значит, он лжец.
Следовательно, его утверждение ложно, поэтому он не отъявленный лжец. Значит, он лжец, но не отъявленный лжец.
| 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 |
| 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 |
| 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 |
| 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 |
| 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 |
| 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 |
| 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 |
| 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 |
| 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 |
| 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 |
| 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |