Рэймонд Смаллиан
Принцесса или тигр?
Стр. 001
От редактора перевода
В 30-х годах этого века психолог Дж. Струп, языковед Э. Бенвенист и логик К. Гёдель примерно в одно время выполнили три исследования, с разных сторон освещающие одно и то же явление. Друг о друге эти ученые едва ли знали. Все три работы впоследствии стали классикой для профессионалов — психологов, лингвистов и математиков соответственно,— но за пределами этих узких кругов стала известной разве что теорема Гёделя (современный немецкий поэт Ганс Магнус Энценсбергер даже посвятил ей стихотворение).
В экспериментах Струпа испытуемому предъявляли слово, написанное цветными чернилами, и просили быстро назвать цвет чернил. Оказалось, что если красными чернилами написано слово СИНИЙ, то время реакции увеличивается. Смысл слова как бы мешает названию цвета, поскольку не совпадает с ним.
Бенвенист изучал свойство некоторых речевых высказываний, которое можно назвать аутореферентностью — ссылкой на себя. Этим свойством обладают те высказывания, при описании смысла которых следует учитывать сами эти высказывания как элемент действительности. Например, в описание смысла фразы «Приказываю открыть парад» должно входить указание на то, что само произнесение этой фразы является сигналом к открытию парада. Почти все военные команды обладают аутореферентностью. Иногда это разделение смысла команды на две части — содержание команды и приказ к ее исполнению — может быть явным. В строевой команде, произносимой «Нале-во!», часть «нале-» указывает направление поворота, а «-во» является сигналом к исполнению; здесь первая часть перестает быть аутореферентной. Важно отметить, что, как и в опыте Струпа, аутореферентное высказывание может быть внутренне конфликтным. В нашем примере, если приказ отдается лицом, не имеющим на это права, то часть интерпретации «это есть приказ к исполнению» оказывается ложной.
Гёдель исследовал программу аксиоматизации математики. Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел (вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них? (Ложные при этом не должны выводиться.) Объяснить точно содержание этой задачи не очень легко даже математику, который специально логикой не занимался. Трудность состоит в описании смысла слов «все» и «вывести»— сначала приходится построить целую теорию, формальную систему, внутри которой этими словами можно пользоваться как математическими терминами. Как бы то ни было, Гёдель показал — вопреки некоторым ожиданиям,— что ответ на поставленный вопрос отрицателен, полной системы аксиом арифметики нет. Причина же этого лежит в странных свойствах аутореферентных высказываний, тех же, что и выше. Старинный парадокс лжеца (лжет ли человек, говорящий «я лгу»?) выявляет такую же внутренне конфликтную ситуацию, как слово «синий», написанное красным цветом. Такой конфликт можно имитировать внутри любой достаточно богатой формальной системы, и в рамках этой системы он окажется неразрешимым.
В построении такой имитации и состоит главное техническое достижение Гёделя. Читатель этой книжки, сумевший продумать содержащуюся в ней версию теоремы Гёделя, вероятно. оценит остроумие разных конструкций, которые приходится изобретать.
| 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 |
| 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 |
| 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 |
| 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 |
| 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 |
| 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 |
| 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 |
| 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 |
| 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 |
| 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 |
| 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |