Рэймонд Смаллиан
Принцесса или тигр?
Стр. 059
Для доказательства правила 1 предположим, что X — житель острова, который в данный момент не спит. Если X принадлежит к дневному типу, тогда он одновременно принадлежит к дневному типу и бодрствует; значит, его суждения в этот момент правильны, и он знает, что относится к дневному типу. С другой стороны, предположим, что X принадлежит к ночному типу. Тогда, поскольку он относится к ночному типу и в данный момент бодрствует, его суждения неверны; поэтому он ошибочно полагает, будто он относится к дневному типу. Итак, суммируя, имеем: когда X бодрствует, то если он принадлежит к дневному типу, он (правильно) считает, что относится к дневному типу; если же он относится к ночному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также принадлежит к дневному типу.
Правило 2 доказывается аналогично: когда X спит, то если этот островитянин принадлежит к ночному типу, он (правильно) считает, что он относится к ночному типу, а если он принадлежит к дневному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также относится к ночному типу.
Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова X принадлежит к дневному типу. Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.
Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.
Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2).
Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).
В отношении же задачи 3 ответом па вопрос «а» является «нет» (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина но поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть, от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос «б» является «да» (в соответствии с правилами 3 и 4).
4. Вы можете решать эту задачу последовательно, рассматривая по очереди каждый из следующих четырех вариантов: 1) островитянка относится к ночному типу и спит, 2) она принадлежит к ночному типу и бодрствует, 3) она относится к дневному типу и спит, 4) она принадлежит к дневному типу и бодрствует. Можно выяснить, какой же из вариантов не противоречит условиям задачи. Тем не менее я предпочел бы следующее доказательство.
| 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 |
| 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 |
| 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 |
| 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 |
| 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 |
| 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 |
| 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 |
| 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 |
| 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 |
| 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 |
| 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |